Mathematics

Názov v sekundárnom jazyku práce: Differential invariants

Anotácia v hlavnom jazyku práce: Práca je založená na teórii diferenciálnych invariantov obsiahnutej v publikácii [1]. Zameraním práce sú diferenciálne invarianty tenzorov. Práca sa zároveň venuje základným dôsledkom invariancie v globálnej variačnej geometrii, akými sú zákony zachovania pre rovnice extremál. Cieľom je nájsť tvrdenia o štruktúre všetkých diferenciálnych invariantov metriky a daného tenzorového poľa. Získané výsledky možno využiť pre hľadanie invariantných Lagrangiánov pre rôzne typy fyzikálnych polí.

Anotácia v sekundárnom jazyku práce: The thesis is based on the theory of differential invariants contained in the publication [1]. A focus of the thesis are differential invariants of tensors. The thesis also deals with the basic consequences of invariance in global variational geometry, such as conservation laws for extremal equations. The goal is to find assertions on the structure of all differential invariants of the metric and the given tensor field. The obtained results can be used for finding invariant Lagrangians for different types of physical fields.

Školiteľ: Brajerčík, Ján, doc. Mgr. PhD.

Názov v sekundárnom jazyku práce: Classification of aggregation functions on ordered sets

Školiteľ: Pócs, Jozef, RNDr. PhD.

Názov v sekundárnom jazyku práce: Combinatorial properties of real line

Školiteľ: Repický, Miroslav, doc. RNDr. CSc.

Názov v sekundárnom jazyku práce: Qualitative properties of nonlinear functional differential equation

Anotácia v hlavnom jazyku práce: Témou práce je študovať kvalitatívne (asymptotické a oscilatorické) vlastnosti funkcionálnych diferenciálnych rovníc. Cieľom je získať ostré kritériá pre široké triedy nelineárnych rovníc s operátormi typu p-Laplaciánu.

Anotácia v sekundárnom jazyku práce: The objective of this thesis is to study qualitative properties (asymptotic behavior, oscillation) of functional differential equations. The aim is to establish sharp criteria for broad classes of nonlinear equations with p-Laplacian-type operators.

Školiteľ: Jadlovská, Irena, Ing. PhD.

Názov v sekundárnom jazyku práce: Mathemematical theory of voting and elections

Anotácia v hlavnom jazyku práce: Pre rôzne volebné systémy preskúmať výpočtovú zložitosť výpočtu možných a zaručených víťazov pri viacerých typoch neurčitostí a navrhnúť efektívne algoritmy pre špeciálne prípady vstupných dát.

Anotácia v sekundárnom jazyku práce: Investigate the computational complexity of the problem of computing the possible and necessary winner for various voting systems, given different types of incomplete information. Design efficient algorithms for special cases of input data.

Školiteľ: Cechlárová, Katarína, prof. RNDr. DrSc.

Názov v sekundárnom jazyku práce: Mathematical foundations of hierarchical data aggregation

Anotácia v hlavnom jazyku práce: Práca je zameraná na teoretický výskum nelineárnych agregačných operátorov v hierarchických štruktúrach. Hlavným cieľom je systematické štúdium matematických vlastností iterovaných integrálov a príbuzných agregačných mechanizmov pri viacúrovňovej agregácii dát. V podmienkach komplexného rozhodovania sú kritériá často usporiadané do viacerých hierarchických úrovní (napr. technické parametre – prevádzková efektivita – celková hodnota). Práca sa zameria najmä na analýzu podmienok, za ktorých je možné korektne prenášať interakcie (synergiu a redundanciu) medzi kritériami z nižších úrovní na vyššie, a na štúdium vlastností takto vzniknutých hierarchických modelov. Pozornosť bude venovaná otázkam stability, robustnosti a reprezentácie týchto modelov, ako aj identifikácii podmienok vhodných pre ich spoľahlivé použitie v rozhodovacích úlohách.

Anotácia v sekundárnom jazyku práce: The thesis is focused on the theoretical research of nonlinear aggregation operators within hierarchical structures. The primary objective is the systematic study of the mathematical properties of iterated integrals and related aggregation mechanisms in multi-level data aggregation. In complex decision-making settings, criteria are often organized into multiple hierarchical levels (e.g., technical parameters – operational efficiency – overall value). The work will particularly focus on the analysis of conditions under which interactions (synergy and redundancy) among criteria can be consistently propagated from lower to higher levels, as well as on the study of the properties of the resulting hierarchical models. Attention will be paid to issues of stability, robustness, and representation of these models, together with the identification of conditions suitable for their reliable use in decision-making tasks.

Školiteľ: Hutník, Ondrej, prof. RNDr. PhD.

Názov v sekundárnom jazyku práce: Nelineárna dynamika a prediktívna inferencia založená na neaditívnych mierach

Anotácia v hlavnom jazyku práce: The dissertation examines dynamical systems driven by non additive measures, addressing limitations of classical theories that rely on additivity and therefore fail to capture interaction driven behaviour in complex phenomena. Whereas traditional models often treat nonlinear interactions as anomalies, this work proposes a conceptual shift toward a unified, statistically rigorous framework for non additive, interaction aware system evolution. The core contribution lies in establishing a coherent mathematical and inferential framework in which non additive, interaction driven dynamical systems can be systematically analysed. This represents a qualitative transition in the field, providing the theoretical foundations necessary to study systems whose components do not merely accumulate but interact in inherently nonlinear ways. The research builds on mature developments in aggregation operators, Choquet type models, and aggregation based representations of uncertainty. By extending established constructions from uncertainty modelling and nonlinear inference, the thesis develops new inferential tools and analytical techniques. The outcome should be a unified theoretical framework that advances isolated methodological results toward a deeper understanding of nonlinear, interaction driven dynamical phenomena, with potential applications across mathematics and related scientific domains.

Anotácia v sekundárnom jazyku práce: Dizertačná práca sa zaoberá dynamickými systémami riadenými neaditívnymi mierami a reaguje na obmedzenia klasických teórií, ktoré sa opierajú o aditivitu a preto nedokážu zachytiť interakciami podmienené správanie zložitých javov. Kým tradičné modely často považujú nelineárne interakcie za anomálie, táto práca navrhuje koncepčný posun smerom k jednotnému, štatisticky rigoróznemu rámcu pre neaditívny, interakčne citlivý vývoj systémov. Jadrom práce bude vytvorenie koherentného matematického a inferenčného rámca, v ktorom možno systematicky analyzovať neaditívne, interakciami riadené dynamické systémy. Ide o kvalitatívny posun v oblasti, ktorý poskytuje teoretické základy potrebné na štúdium systémov, ktorých zložky sa nielen sčítavajú, ale interagujú inherentne nelineárnym spôsobom. Výskum nadväzuje na vyspelé výsledky v oblasti agregačných operátorov, Choquetových typov modelov a agregačných reprezentácií neistoty. Rozšírením etablovaných konštrukcií z modelovania neistoty a nelineárnej inferencie práca rozvíja nové inferenčné nástroje a analytické techniky. Výsledkom by mal byť jednotný teoretický rámec, ktorý posunie izolované metodologické prístupy k hlbšiemu pochopeniu nelineárnych, interakciami riadených dynamických javov s potenciálnymi aplikáciami v matematike aj príbuzných vedeckých disciplínach.

Školiteľ: Kiseľák, Jozef, doc. Mgr. PhD.

Názov v sekundárnom jazyku práce: Schwarzschild metric and its generalization

Anotácia v hlavnom jazyku práce: Práca sa zaoberá matematickými základmi všeobecnej teórie relativity. Východiskom je štruktúra Schwarzschildovej metriky a podkladové geometrické štruktúry všeobecnej teórie relativity. Cieľom je získať tvrdenia o zovšeobecnení Schwarzschildovej metriky na metriku závislú na rýchlostiach (Finslerova metrika) invariantnú voči pôsobeniu Lieových grúp všeobecnej teórie relativity.

Anotácia v sekundárnom jazyku práce: The thesis deals with the mathematical foundations of the general relativity. The starting point is the structure of the Schwarzschild metric and the underlying geometric structures of the general relativity. The goal is to obtain assertions on the generalization of the Schwarzschild metric to metric dependent on velocities (Finsler metric) invariant to the action of the Lie groups of general relativity.

Školiteľ: Brajerčík, Ján, doc. Mgr. PhD.

Názov v sekundárnom jazyku práce: Testing of multivariate random variables with special variance structures

Anotácia v hlavnom jazyku práce: V posledných rokoch si najmä biomedicínsky výskum vyžiadal skúmanie mnohorozmerných a vysokorozmerných dátových štruktúr. Vzhľadom k vysokému počtu odhadovaných parametrov príslušných rozdelení mnoho výskumníkov hľadá redukciu ich počtu prostredníctvom špeciálnych variančných štruktúr. Tento prístup následne vyžaduje možnosť testovať prítomnosť týchto štruktúr v dátach a úpravu existujúcich štandardných testov stredných hodnôt resp. odvodenie nových. Cieľom dizertačnej práce bude rozšíriť paletu existujúcich metód v tejto oblasti a pomocou simulácií porovnať ich praktickú aplikovateľnosť.

Anotácia v sekundárnom jazyku práce: In recent years, especially biomedical research required investigation of multivariate and high-dimensional data structures. Since corresponding distributions have high number of parameters to be estimated, many researchers seek the reduction of their number by means of special variance structures. This approach subsequently requires possibility to test the presence of such structures in the data and adjustment of existing standard tests of mean values or development of new ones. The aim of the doctoral work will be to enlarge the pallette of existing methods in this area and compare their practical applicability by means of simulations.

Školiteľ: Klein, Daniel, doc. RNDr. PhD.

Názov v sekundárnom jazyku práce: Distance-constrained realizations of geometric graphs

Školiteľ: Madaras, Tomáš, prof. RNDr. PhD.